已知函数f(x)=a2-2x2x+1(a为常数)(1)证明:函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数;(2)若f(x)为奇函数,求a的值.-数学

题目简介

已知函数f(x)=a2-2x2x+1(a为常数)(1)证明:函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数;(2)若f(x)为奇函数,求a的值.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
a
2
-
2x
2x+1
(a为常数)
(1)证明:函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数;
(2)若f(x)为奇函数,求a的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明:在(-∞,+∞)上任取两个值x1,x2且x1<x2
f(x1)-f(x2)=(class="stub"a
2
-
2x1
2x1+1
)-(class="stub"a
2
-
2x2
2x2+1

=
2x2
2x2+1
-
2x1
2x1+1
=
2x2-2x1
(2x1+1)(2x2+1)

∵2>1且x1<x2
2x2-2x1>0又(2x1+1)(2x2+1)>0
∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)
∴函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.
(2)∵f(x)为奇函数且在x=0处有意义,
∴f(0)=0
class="stub"a
2
-
20
20+1
=0

∴a=1

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