已知实数x、y满足2x-y≤0x+y-5≥0y-4≤0,若不等式a(x2+y2)≥(x+y)2恒成立,则实数a的最小值是______.-数学

题目简介

已知实数x、y满足2x-y≤0x+y-5≥0y-4≤0,若不等式a(x2+y2)≥(x+y)2恒成立,则实数a的最小值是______.-数学

题目详情

已知实数x、y满足
2x-y≤0
x+y-5≥0
y-4≤0
,若不等式a(x2+y2)≥(x+y)2恒成立,则实数a的最小值是______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

实数x、y满足
2x-y≤0
x+y-5≥0
y-4≤0
的可行域是一个三角形,三角形的三个顶点分别为(1,4),(2,4),(class="stub"5
3
,class="stub"10
3
)

与原点连线的斜率分别为4,2,∴class="stub"y
x
∈[2,4]

a(x2+y2)≥(x+y)2等价于a≥1+class="stub"2
class="stub"y
x
+class="stub"x
y

class="stub"y
x
在[2,4]上单调增
class="stub"5
2
class="stub"y
x
+class="stub"x
y
≤4+class="stub"1
4
=class="stub"17
4

∴a≥1+class="stub"4
5
=class="stub"9
5

∴实数a的最小值是class="stub"9
5

故答案为:class="stub"9
5

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