已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x),且f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式f(x)<ex的解集为()A.(-2,+∞)B.(0,+∞)C.(1,+∞

题目简介

已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x),且f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式f(x)<ex的解集为()A.(-2,+∞)B.(0,+∞)C.(1,+∞

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已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x),且f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式f(x)<ex的解集为(  )
A.(-2,+∞)B.(0,+∞)C.(1,+∞)D.(4,+∞)
题型:单选题难度:中档来源:日照二模

答案

∵y=f(x+2)为偶函数,∴y=f(x+2)的图象关于x=0对称
∴y=f(x)的图象关于x=2对称
∴f(4)=f(0)
又∵f(4)=1,∴f(0)=1
设g(x)=
f(x)
ex
(x∈R),则g′(x)=
f′(x)ex-f(x)ex 
(ex)2
=
f′(x)-f(x) 
ex

又∵f′(x)<f(x),∴f′(x)-f(x)<0
∴g′(x)<0,∴y=g(x)在定义域上单调递减
∵f(x)<ex
∴g(x)<1
又∵g(0)=
f(0)
e0
=1
∴g(x)<g(0)
∴x>0
故选B.

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