已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>2x的解集为(-1,3).(1)若函数g(x)=x,f(x)在区间(-∞,a3)内单调递减,求a的取值范围;(2)当a=-1时,证明方程f(x)

题目简介

已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>2x的解集为(-1,3).(1)若函数g(x)=x,f(x)在区间(-∞,a3)内单调递减,求a的取值范围;(2)当a=-1时,证明方程f(x)

题目详情

已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>2x的解集为(-1,3).
(1)若函数g(x)=x,f(x)在区间(-∞,
a
3
)内单调递减,求a的取值范围;
(2)当a=-1时,证明方程f(x)=2x3-1仅有一个实数根.
(3)当x∈[0,1]时,试讨论|f(x)+(2a-1)x+3a+1|≤3成立的充要条件.
题型:解答题难度:中档来源:南通模拟

答案

(1)∵f(x)-2x>0的解集为(-1,3),
∴可设f(x)-2x=a(x+1)(x-3),且a<0,
因而f(x)=a(x+1)(x-3)+2x=ax2+2(1-a)x-3a①
g(x)=xf(x)=ax3+2(1-a)x2-3ax,
∵g(x)在区间 (-∞,class="stub"a
3
)
内单调递减,
∴g′(x)=3ax2+4(1-a)x-3a在 (-∞,class="stub"a
3
)
上的函数值非正,
由于a<0,对称轴 x=
2(a-1)
3a
>0

g/(class="stub"a
3
)=
a3
3
+class="stub"4
3
a(1-a)-3a≤0

注意到a<0,∴a2+4(1-a)-9≥0,
得a≤-1或a≥5(舍去)
故所求a的取值范围是(-∞,-1].
(2)当a=-1时,方程f(x)=2x3-1仅有一个实数根,即证方程2x3+x2-4x-4有且仅有一个实数根.
令h(x)=2x3+x2-4x-4,
由h′(x)=6x2+2x-4=0,得x=-1,或x=class="stub"2
3

由此易得函数h(x)=2x3+x2-4x-4在区间(-∞,-1),(class="stub"2
3
,+∞)上单调递增,在区间(-1,class="stub"2
3
)上递减
h(x)的极大值h(-1)=-1<0
故函数h(x)的图象与x轴仅有一个交点,
∴当a=-1时,方程f(x)=2x3-1仅有一个实数根
(3)设r(x)=f(x)+(2a-1)x+3a+1=ax2+x+1,
r(0)=1,对称轴为x=-class="stub"1
2a

由题意,得
-class="stub"1
2
≤a<0
r(1)=a+2≤3
a<-class="stub"1
2
r(-class="stub"1
2a
)=1-class="stub"1
4a
≤3
r(1)=a+2≥3

解得-5≤a<0
故使|f(x)+(2a-1)x+3a+1|≤3成立的充要条件为-5≤a<0

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