已知函数f(x)=2a-13x+1(a∈R).(1)若函数f(x)为奇函数,求a的值;(2)判断函数f(x)在R上的单调性,并证明.-数学

题目简介

已知函数f(x)=2a-13x+1(a∈R).(1)若函数f(x)为奇函数,求a的值;(2)判断函数f(x)在R上的单调性,并证明.-数学

题目详情

已知函数f(x)=2a-
1
3x+1
(a∈R).
(1)若函数f(x)为奇函数,求a的值;
(2)判断函数f(x)在R上的单调性,并证明.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵函数f(x)为奇函数,
∴f(-x)+f(x)=0,
即:(2a-class="stub"1
3-x+1
)+(2a-class="stub"1
3x+1
)=0

则有:4a-
3x
3-x3x+13x
-class="stub"1
3x+1
=0

即:4a-
3x+1
3x+1
=0

∴4a-1=0,a=class="stub"1
4

(2)f(x)在R上是增函数,证明如下:
任取x1,x2∈R,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=(2a-class="stub"1
3x1+1
)-(2a-class="stub"1
3x2+1
)
=class="stub"1
3x2+1
-class="stub"1
3x1+1
=
3x1-3x2
(3x1+1)(3x2+1)

∵y=3x在R上是增函数,且x1<x2,
3x13x2
即:3x1-3x2<0
又3x>0,
3x1+1>0,3x2+1>0
∴f(x1)-f(x2)<0,
即:f(x1)<f(x2),
故f(x)在R上是增函数.

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