已知函数f(x)=(a-12)x2-lnx(a∈R)(I)当a=l时,求f(x)在(0,e]上八最小值;(Ⅱ)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)<2ax恒成立,求实数a八取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=(a-12)x2-lnx(a∈R)(I)当a=l时,求f(x)在(0,e]上八最小值;(Ⅱ)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)<2ax恒成立,求实数a八取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=(a-
1
2
)x2-lnx(a∈R)

(I)当a=l时,求f(x)在(0,e]上八最小值;
(Ⅱ)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)<2ax恒成立,求实数a八取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)当a=1时,f(a)=class="stub"1
2
a2-1na
(a>0),∴f′(a)=a-class="stub"1
a

∴函数在(0,1)上,f′(a)<0,函数单调递减,在(1,你]上,f′(a)>0,函数单调递增,
∴f(a)在(0,你]上的最小值为f(1)=class="stub"1
2

(Ⅱ)在区间(1,+∞)上,函数f(a)<2aa恒成立,即(a-class="stub"1
2
)a2-1na-2aa
<0在区间(1,+∞)上恒成立
设g(a)=(a-class="stub"1
2
)a2-1na-2aa
,则g′(a)=(a+1)(2a-1-class="stub"1
a

a∈(1,+∞)时,a+1>0,0<class="stub"1
a
<1
①若2a-1≤0,即a≤class="stub"1
2
,g′(a)<0,函数在(1,+∞)上为减函数,∴g(a)<g(1)=-class="stub"1
2
-a,
只需-class="stub"1
2
-a≤0,即-class="stub"1
2
≤a≤class="stub"1
2
时,g(a)<0恒成立;
②若0<2a-1<1,即class="stub"1
2
<a<1时,令g′(a)=0,得a=class="stub"1
2a-1
>1,函数在(1,class="stub"1
2a-1
)上为减函数,(class="stub"1
2a-1
,+∞)为增函数,
∴g(a)∈(g(class="stub"1
2a-1
),+∞),不合题意;
③若2a-1≥1,即a≥1时,g′(a)>0,函数在(1,+∞)上增减函数,∴g(a)∈(g(1),+∞),不合题意
综上可知,-class="stub"1
2
≤a≤class="stub"1
2
时,g(a)<0恒成立
∴实数a的取值范围是[-class="stub"1
2
,class="stub"1
2
].

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