已知函数f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且f(x)+g(x)=ex+x2.(I)求f(x)和g(x)的解析式;(II)若h(x)=f(x)-12ex-x2-12x,求当x为何值时,h(x)取到最值

题目简介

已知函数f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且f(x)+g(x)=ex+x2.(I)求f(x)和g(x)的解析式;(II)若h(x)=f(x)-12ex-x2-12x,求当x为何值时,h(x)取到最值

题目详情

已知函数f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且f(x)+g(x)=ex+x2
(I)求f(x)和g(x)的解析式;
(II)若h(x)=f(x)-
1
2ex
-x2-
1
2
x,求当x为何值时,h(x)取到最值,最值是多少?
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)因为函数f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,
所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
又因为f(x)+g(x)=ex+x2,①
所以f(-x)+g(-x)=e-x+x2,即f(x)-g(x)=e-x+x2,②
由①②得,f(x)=class="stub"1
2
ex+class="stub"1
2
e-x+x2
,g(x)=class="stub"1
2
ex-class="stub"1
2
e-x

(II)h(x)=class="stub"1
2
ex-class="stub"1
2
x,则h′(x)=class="stub"1
2
ex-class="stub"1
2

令h′(x)=0得x=0,
当x<0时,h′(x)<0,h(x)递减,当x>0时,h′(x)>0,h(x)递增,
所以当x=0时,h(x)取得极小值,也为最小值,h(x)min=h(0)=class="stub"1
2

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