首页 > 设f(x)=alog22x+blog4x2+1，（a，b为常数）．当x＞0时，F（x）=f（x），且F（x）为R上的奇函数．（Ⅰ）若f(12)=0，且f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；（Ⅱ）在

设f(x)=alog22x+blog4x2+1，（a，b为常数）．当x＞0时，F（x）=f（x），且F（x）为R上的奇函数．（Ⅰ）若f(12)=0，且f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；（Ⅱ）在

题目简介

设f(x)=alog22x+blog4x2+1，（a，b为常数）．当x＞0时，F（x）=f（x），且F（x）为R上的奇函数．（Ⅰ）若f(12)=0，且f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；（Ⅱ）在

题目详情

设f(x)=alog22x+blog4x2+1，（a，b为常数）．当x＞0时，F（x）=f（x），且F（x）为R上的奇函数．
（Ⅰ）若f(
1
2
)=0，且f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，g(x)=
f(x)+k-1
log2x
在[2，4]上是单调函数，求k的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）f（x）=alog22x+blog2x+1
由f(class="stub"1
2
)=0得a-b+1=0，
∴f（x）=alog22x+（a+1）log2x+1
若a=0则f（x）=log2x+1无最小值．
∴a≠0．
欲使f（x）取最小值为0，只能使
a＞0
4a-(a+1)2
4a
=0
，知a=1，b=2．
∴f（x）=log22x+2log2x+
设x＜0则-x＞0，
∴F（x）=f（-x）=log22（-x）+2log2（-x）+1
又F（-x）=-F（x），
∴F（x）=-log22（-x）-2log2（-x）-1
又F（0）=0∴F(-x)=
log22x+2log2x+1  (x＞0)
0
   
   
   
   
   
   
   
   
(x=0)
-log22(-x)-2log2(-x)-1  (x＜0)

（2）g(x)=
log22x+2log2x+1+k-1
log2x
=log2x+class="stub"k
log2x
+2．x∈[2，4]．
得log2x=t．则y=t+class="stub"k
t
+2，t∈[1，2]．
∴当k≤0，或
k
≤1或
k
≥2时，y为单调函数．
综上，k≤1或k≥4．

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