已知函数f(x)=a•3x+a-23x+1．（a∈R）（1）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？证明你的结论；（2）用单调性定义证明：不论a取任何实数，函数f（x）在其定义域上都是增函数；（3）若函

题目简介

题目详情

已知函数f(x)=

a•3x+a-2

3x+1

．（a∈R）
（1）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？证明你的结论；
（2）用单调性定义证明：不论a取任何实数，函数f（x）在其定义域上都是增函数；
（3）若函数f（x）为奇函数，解不等式f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵3x＞0
3x+1≠0函数f（x）的定义域为 R即（-∞，+∞）…（1分）
假设存在实数a使函数f（x）为奇函数，
由f（0）=0得class="stub"2a-2

3x+1

=0解得a=1…（2分），
∴f(x)=

3x-1

3x+1

f(-x)=

3-x-1

3-x+1

class="stub"1

-1

class="stub"1

1-3x

3x+1

3x-1

3x+1

=-f(x)
∴当a=1时，函数f（x）为奇函数…（4分）
（2）证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2
∵f(x)=a-class="stub"2

3x+1

f（x1）-f（x2）=a-class="stub"2

3x1+1

-(a-class="stub"2

3x2+1

)
=class="stub"2

3x2+1

-class="stub"2

3x1+1

2(3x1+1)-2(3x2+1)

(3x1+1)(3x2+1)

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

…（7分）
∵x1＜x2，
∴3x1＜3x2
∴3x1-3x2＜0
又∵3x1+1＞0，3x2+1＞0
f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
∴不论a取何值，函数f（x）在其定义域上都是增函数．…（9分）
（3）由f（3m2-m+1）+f（2m-3）＜0得f（3m2-m+1）＜-f（2m-3）
∵函数f（x）为奇函数
∴-f（2m-3）=f（3-2m）
∴f（3m2-m+1）＜f（3-2m）
由（2）已证得函数f（x）在R上是增函数
∴f（3m2-m+1）＜f（3-2m）⇔3m2-m+1＜3-2m
∴3m2+m-2＜0
∴（3m-2）（m+1）＜0
∴-1＜m＜class="stub"2

．
不等式f（3m2-m+1）+f（2m-3）＜0的解集为{m|-1＜m＜class="stub"2

}．…（14分）

上一篇 : 若f（52x-1）=x-2，则f（125）=______．-数
下一篇 : 已知f（sinx）=cos2x，则f(55)=_____

已知函数f(x)=a•3x+a-23x+1．（a∈R）（1）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？证明你的结论；（2）用单调性定义证明：不论a取任何实数，函数f（x）在其定义域上都是增函数；（3）若函

题目简介

题目详情

答案

更多内容推荐