设函数f(x)=23x+5+lg3-2x3+2x,(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的单调性,并给出证明;(3)已知函数f(x)的反函数f-1(x),问函数y=f-1(x)的图象与x

题目简介

设函数f(x)=23x+5+lg3-2x3+2x,(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的单调性,并给出证明;(3)已知函数f(x)的反函数f-1(x),问函数y=f-1(x)的图象与x

题目详情

设函数f(x)=
2
3x+5
+lg
3-2x
3+2x

(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的单调性,并给出证明;
(3)已知函数f(x)的反函数f-1(x),问函数y=f-1(x)的图象与x轴有交点吗?若有,求出交点坐标;若无交点,说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由3x+5≠0且class="stub"3-2x
3+2x
>0,解得x≠-class="stub"5
3
且-class="stub"3
2
<x<class="stub"3
2
.取交集得-class="stub"3
2
<x<class="stub"3
2

(2)令μ(x)=3x+5,随着x增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数;
class="stub"3-2x
3+2x
=-1+class="stub"6
3+2x
随着x增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数.
又y=lgx在定义域内是增函数,根据复合函数的单调性可知,y=lgclass="stub"3-2x
3+2x
是减函数,所以f(x)=class="stub"2
3x+5
+lgclass="stub"3-2x
3+2x
是减函数.
(3)因为直接求f(x)的反函数非常复杂且不易求出,于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解.
设函数f(x)的反函数f-1(x)与x轴的交点为(x0,0).根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知,f(x)与y轴的交点是(0,x0),将(0,x0)代入f(x),解得x0=class="stub"2
5

所以函数y=f-1(x)的图象与x轴有交点,交点为(class="stub"2
5
,0).

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