已知函数f(x)=1x-log21+x1-x.(1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)证明f(x)在(0,1)内单调递减.-数学

题目简介

已知函数f(x)=1x-log21+x1-x.(1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)证明f(x)在(0,1)内单调递减.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
1
x
-log2
1+x
1-x

(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的奇偶性;
(3)证明f(x)在(0,1)内单调递减.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)
x≠0
class="stub"1+x
1-x
>0
⇔-1<x<0或0<x<1,
故f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1);
(2)∵f(-x)=-class="stub"1
x
-log2class="stub"1-x
1+x
=-(class="stub"1
x
-log2class="stub"1+x
1-x
)=-f(x)

∴f(x)是奇函数;
(3)设0<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=(class="stub"1
x1
-class="stub"1
x2
)+(log2
1+x2
1+x2
-log2
1+x1
1-x1
=
x2-x1
x1x2
+log2
(1-x1)(1+x2)
(1+x1)(1-x2)

∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,x1x2>0,
(1-x1)(1+x2)=1-x1x2+(x2-x1)>1-x1x2-(x2-x1)=(1+x1)(1-x2)>0
(1-x1)(1+x2)
(1+x1)(1-x2)
>1, log2
(1-x1)(1+x2)
(1+x1)(1-x2)
>0
x2-x1
x1x2
>0

∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)∴f(x)在(0,1)内递减.
f′(x)=-(class="stub"1
x2
+class="stub"2
1-x2
log2e)
∴当x∈(0,1)时,f′(x)<0
故f(x)在(0,1)内是减函数.

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