对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是函数f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称(x0,f(x0))为

题目简介

对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是函数f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称(x0,f(x0))为

题目详情

对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是函数f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
,请你根据上面探究结果,解答以下问题
(1)函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
的对称中心为______;
(2)计算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)
+…+f(
2012
2013
)=______.
题型:填空题难度:中档来源:昌平区二模

答案

(1)∵f(x)=class="stub"1
3
x3-class="stub"1
2
x2+3x-class="stub"5
12

∴f′(x)=x2-x+3,f''(x)=2x-1,
令f''(x)=2x-1=0,得x=class="stub"1
2

∵f(class="stub"1
2
)=class="stub"1
3
×(class="stub"1
2
)
3
-class="stub"1
2
×(class="stub"1
2
)2-class="stub"5
12
+3×class="stub"1
2
=1,
∴f(x)=class="stub"1
3
x3-class="stub"1
2
x2+3x-class="stub"5
12
的对称中心为(class="stub"1
2
,1),
(2)∵f(x)=class="stub"1
3
x3-class="stub"1
2
x2+3x-class="stub"5
12
的对称中心为(class="stub"1
2
,1),
∴f(x)+f(1-x)=2,
f(class="stub"1
2013
)+f(class="stub"2
2013
)+f(class="stub"3
2013
)
+…+f(class="stub"2012
2013
)=2×1006=2012.
故答案为:(class="stub"1
2
,1),2012.

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