定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+4),当2≤x≤6时,f(x)=(12)|x-m|+n,f(4)=31.(1)求m,n的值;(2)比较f(log3m)与f(log3n)的大小.-数学

题目简介

定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+4),当2≤x≤6时,f(x)=(12)|x-m|+n,f(4)=31.(1)求m,n的值;(2)比较f(log3m)与f(log3n)的大小.-数学

题目详情

定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+4),当2≤x≤6时,f(x)=(
1
2
|x-m|+n,f(4)=31.
(1)求m,n的值;
(2)比较f(log3m)与f(log3n)的大小.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)因为函数f(x)在R上满足f(x)=f(x+4),
所以4是函数f(x)的一个周期.
可得f(2)=f(6),即class="stub"1
2
|2-m|
+n=(class="stub"1
2
)
|6-m|
+n,①
又f(4)=31,class="stub"1
2
|4-m|
+n=31,②
联立①②组成方程组解得m=4,n=30.
(2)由(1)知,函数f(x)=(class="stub"1
2
)
|x-4|
+30,x∈[2,6].
因为1<log34<2,所以5<log34+4<6.
f(log3m)=f(log34)=f(log34+4)
=class="stub"1
2
|log34+4-4|
+30
=(class="stub"1
2
)|log34|+30.
又因为3<log330<4,
f(log3n)=f(log330)=(class="stub"1
2
)|log330-4|+30

=(class="stub"1
2
)4-log330+30=(class="stub"1
2
)log3class="stub"81
30
+30.

因为log3class="stub"81
30
<log34

⇒(class="stub"1
2
)log34<(class="stub"1
2
)log3class="stub"81
30
⇒(class="stub"1
2
)log34+30<(class="stub"1
2
)log3class="stub"81
30
+30.

所以f(log3m)<f(log3n).

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