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判断函数f(x)=ax+1x+2(a≠12)在（-2，+∞）上的单调性，并证明你的结论．-数学

题目简介

判断函数f(x)=ax+1x+2(a≠12)在（-2，+∞）上的单调性，并证明你的结论．-数学

题目详情

判断函数f(x)=

ax+1

x+2

(a≠

1

2

)在（-2，+∞）上的单调性，并证明你的结论．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

设x1，x2∈（-2，+∞）且x1＜x2∵f(x)=class="stub"ax+2a+1-2a

x+2

=a+class="stub"1-2a

x+2

（2分）
∴f（x2）-f（x1）=(a+class="stub"1-2a

x2+2

)-(a+class="stub"1-2a

x1+2

)
=(1-2a)(class="stub"1

x2+2

-class="stub"1

x1+2

)=(1-2a)•

x1-x2

(x2+2)(x1+2)

（8分）
又∵-2＜x1＜x2，∴

x1-x2

(x2+2)(x1+2)

＜0
∴当1-2a＞0，即a＜class="stub"1

2

时，f（x2）＜f（x1），
当1-2a＜0，即a＞class="stub"1

2

时，f（x2）＞f（x1），
所以，当a＜class="stub"1

2

时，f(x)=class="stub"ax+1

x+2

在（-2，+∞）为减函数；
当a＞class="stub"1

2

时，f(x)=class="stub"ax+1

x+2

在（-2，+∞）为增函数．（12分）

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