已知函数f(x)=x3-12x2+bx+c.(1)若f(x)在(-∞,+∞)是增函数,求b的取值范围;(2)若f(x)在x=1时取得极值,且x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.-

题目简介

已知函数f(x)=x3-12x2+bx+c.(1)若f(x)在(-∞,+∞)是增函数,求b的取值范围;(2)若f(x)在x=1时取得极值,且x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.-

题目详情

已知函数f(x)=x3-
1
2
x2+bx+c.
(1)若f(x)在(-∞,+∞)是增函数,求b的取值范围;
(2)若f(x)在x=1时取得极值,且x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立,求 c的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f′(x)=3x2-x+b,∵f(x)在(-∞,+∞)是增函数,
∴f′(x)≥0恒成立,∴△=1-12b≤0,解得b≥class="stub"1
12

∵x∈(-∞,+∞)时,只有b=class="stub"1
12
时,f′(class="stub"1
6
)=0,∴b的取值范围为[class="stub"1
12
,+∞].
(2)由题意,x=1是方程3x2-x+b=0的一个根,设另一根为x0,
x0+1=class="stub"1
3
x0×1=class="stub"b
3
x0=-class="stub"2
3
b=-2
∴f′(x)=3x2-x-2,
列表分析最值:
x-1(-1,-class="stub"2
3
-class="stub"2
3
(-class="stub"2
3
,1)
1(1,2)2
f'(x)+0-0+
f(x)class="stub"1
2
+c
递增极大值class="stub"22
27
+c
递减极小值-class="stub"3
2
+c
递增2+c
∴当x∈[-1,2]时,f(x)的最大值为f(2)=2+c,
∵对x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立,∴c2>2+c,解得c<-1或c>2,
故c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞)

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