首页 > 已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点(-34，0)对称，且满足f(x)=-f(x+32)，f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2006）的值为______．-数学

已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点(-34，0)对称，且满足f(x)=-f(x+32)，f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2006）的值为______．-数学

题目简介

已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点(-34，0)对称，且满足f(x)=-f(x+32)，f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2006）的值为______．-数学

题目详情

已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点(-
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，0)对称，且满足f(x)=-f(x+
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)，f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2006）的值为______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

∵函数f（x）满足f(x)=-f(x+class="stub"3
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)，
∴f（x+3）=f[(x+class="stub"3
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)+class="stub"3
2
]=-f(x+class="stub"3
2
)=f（x）
即f（x）是一个以3为周期的周期函数
又∵函数f（x）的图象关于点(-class="stub"3
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，0)对称，
∴f（x）=-f（-class="stub"3
2
-x），又函数f（x）满足f(x)=-f(x+class="stub"3
2
)，
∴f（-class="stub"3
2
-x）=f(x+class="stub"3
2
)
即f（x）=f（-x）
故函数f（x）为定义在R上的偶函数
又∵f（-1）=1，f（0）=-2，
∴f（1）=f（-1）=f（2）=1
∴f（3k）=-2，f（3k+1）=1，f（3k+2）=1，k∈Z
∴f（1）+f（2）+…+f（2006）=f（1）+f（2）=1+1=2
故答案为2

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