已知函数f(x)=4(x-a)x2+4.(a∈R)(Ⅰ)判断f(x)的奇偶性;(Ⅱ)设方程x2-2ax-1=0的两实根为m,n(m<n),证明函数f(x)是[m,n]上的增函数.-数学

题目简介

已知函数f(x)=4(x-a)x2+4.(a∈R)(Ⅰ)判断f(x)的奇偶性;(Ⅱ)设方程x2-2ax-1=0的两实根为m,n(m<n),证明函数f(x)是[m,n]上的增函数.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
4(x-a)
x2+4
.(a∈R)
(Ⅰ)判断f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)设方程x2-2ax-1=0的两实根为m,n(m<n),证明函数f(x)是[m,n]上的增函数.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)当a=0时,f(x)=class="stub"4x
x2+4

对任意x∈(-∞,+∞),f(-x)=
4(-x)
(-x)2+4
=-class="stub"4x
x2+4
=-f(x)

∴f(x)为奇函数.  
当a≠0时,f(x)=
4(x-a)
x2+4

取x=±1,得f(-1)+f(1)=-class="stub"8
5
a≠0
f(-1)-f(1)=-class="stub"8
5
≠0

∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1),
∴函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.  
(Ⅱ)证明:因为f(x)=
4(x-a)
x2+4

所以f′(x)=
4(x2+4)-4(x-a)•2x
(x2+4)2
=
-4x2+8ax+16
(x2+4)2

=
-4(x2-2ax-1)+12
(x2+4)2

设g(x)=x2-2ax-1,当x∈[m,n]时,g(x)≤0,即x2-2ax-1≤0,
-4(x2-2ax-1)≥0,
-4(x2-2ax-1)+12
(x2+4)2
>0

所以f(x)在区间[m,n]上是增函数.

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