已知函数f(x)=inx-a(x-1),a∈R(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)当x≥1时,f(x)≤inxx+1恒成立,求a的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=inx-a(x-1),a∈R(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)当x≥1时,f(x)≤inxx+1恒成立,求a的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=inx-a(x-1),a∈R
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)当x≥1时,f(x)≤
inx
x+1
恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(本小题满分12分)
(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=class="stub"1-ax
x

若a≤0,则f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,…(2分)
若a>0,则由f′(x)=0,得x=class="stub"1
a

当x∈(0,class="stub"1
a
)时,f′(x)>0,
当x∈(class="stub"1
a
,+∞
)时,f′(x)<0,
∴f(x)在(0,class="stub"1
a
)上单调递增,在(class="stub"1
a
,+∞)单调递减.
所以当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当a>0时,f(x)在(0,class="stub"1
a
)上单调递增,在(class="stub"1
a
,+∞)单调递减.…(4分)
(Ⅱ)f(x)-class="stub"lnx
x+1
=
xlnx-a(x2-1)
x+1

令g(x)=xlnx-a(x2-1),(x≥1),
g′(x)=lnx+1-2ax,令F(x)=g′(x)=lnx+1-2ax,
F(x)=class="stub"1-2ax
x
,…(6分)
①或a≤0,F′(x)>0,g′(x)在[1,+∞)递增,
g′(x)≥g′(1)=1-2a>0,
∴g(x)在[1,+∞)递增,g(x)≥g(1)=0,
从而f(x)-class="stub"lnx
x+1
≥0
不符合题意.…(8分)
②若0<a<class="stub"1
2
,当x∈(1,class="stub"1
2a
),F′(x)>0,
∴g′(x)在(1,class="stub"1
2a
)递增,
从而g′(x)>g′(1)=1-2a,
∴g(x)在[1,+∞)递增,g(x)≥g(1)=0,
从而f(x)-class="stub"lnx
x+1
≥0
不符合题意.…(10分)
③若a≥class="stub"1
2
,F′(x)≤0在[1,+∞)恒成立,
∴g′(x)在[1,+∞)递减,g′(x)≤g′(1)=1-2a≤0,
从而g9x)在[1,+∞)递减,
∴g(x)≤g(1)=0,f(x)-class="stub"lnx
x+1
≤0,
综上所述,a的取值范围是[class="stub"1
2
,+∞
).…(12分)

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