已知定义域为R的函数f(x)=2x-1a+2x+1是奇函数.(1)求a的值;(2)求证:f(x)在R上是增函数;(3)若对任意的t∈R,不等式f(mt2+1)+f(1-mt)>0恒成立,求实数m的取值

题目简介

已知定义域为R的函数f(x)=2x-1a+2x+1是奇函数.(1)求a的值;(2)求证:f(x)在R上是增函数;(3)若对任意的t∈R,不等式f(mt2+1)+f(1-mt)>0恒成立,求实数m的取值

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已知定义域为R的函数f(x)=
2x-1
a+2x+1
是奇函数.
(1)求a的值;
(2)求证:f(x)在R上是增函数;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(mt2+1)+f(1-mt)>0恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵函数是奇函数,
∴f(1)+f(-1)=0,可得class="stub"1
a+4
+
-class="stub"1
2
a+1
=0
,解之得a=2-----------(3分)
检验:a=2时,f(x)=
2x-1
2+2x+1

f(-x)=
2-x-1
2+2-x+1
=
2x(2-x-1)
2x(2+2-x+1)
=
1-2x
2x+1+2

∴f(x)+f(-x)=0对x∈R恒成立,即f(x)是奇函数.-----------(5分)
(2)证明:令t=2x,则y=class="stub"t-1
2+2t
=class="stub"1
2
•class="stub"t-1
t+1
=class="stub"1
2
(1-class="stub"2
t+1
)=class="stub"1
2
-class="stub"1
t+1

设x1∈R,x2∈R且x1<x2
∵t=2x在R上是增函数,∴0<t1<t2
当0<t1<t2时,y1-y2=class="stub"1
2
-class="stub"1
t1+1
-(class="stub"1
2
-class="stub"1
t2+1
)
=class="stub"1
t2+1
-class="stub"1
t1+1
=
t1-t2
(t1+1)(t2+1)

∵0<t1<t2
∴t1-t2<0,t1+1>0,t2+1>0
∴y1<y2,可得f(x)在R上是增函数---------------(10分)
(3)∵f(x)是奇函数
∴不等式f(mt2+1)+f(1-mt)>0等价于f(mt2+1)>f(mt-1)
∵f(x)在R上是增函数
∴对任意的t∈R,不原不等式恒成立,即mt2+1>mt-1对任意的t∈R恒成立,
化简整理得:mt2-mt+2>0对任意的t∈R恒成立
1°m=0时,不等式即为2>0恒成立,符合题意;
2°m≠0时,有
m>0
△=m2-8m<0
即0<m<8
综上所述,可得实数m的取值范围为0≤m<8-------------(16分)

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