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已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅲ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+

题目简介

已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅲ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+

题目详情

已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：兰州一模

答案

（Ⅰ）f′（x）=lnx+1令f′（x）＜0解得0＜x＜class="stub"1
e

∴f（x）的单调递减区间为(0，class="stub"1
e
)
令f′（x）＞0解得x＞class="stub"1
e

∴f（x）的单调递增区间为(class="stub"1
e
，+∞)；
（Ⅱ）当0＜t＜t+2＜class="stub"1
e
时，t无解
当0＜t≤class="stub"1
e
＜t+2，即0＜t≤class="stub"1
e
时，
∴f(x)min=f(class="stub"1
e
)=-class="stub"1
e
；
当class="stub"1
e
＜t＜t+2，即t＞class="stub"1
e
时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，
∴f（x）min=f（t）=tlnt
∴f(x)min=
-class="stub"1
e
    0＜t≤class="stub"1
e
tlnt     t＞class="stub"1
e
；
（Ⅲ）由题意：2xlnx≤3x2+2ax-1+2即2xlnx≤3x2+2ax+1
∵x∈（0，+∞）
∴a≥lnx-class="stub"3
2
x-class="stub"1
2x

设h(x)=lnx-class="stub"3
2
x-class="stub"1
2x
，则h′(x)=class="stub"1
x
-class="stub"3
2
+class="stub"1
2x2
=-
(x-1)(3x+1)
2x2

令h′（x）=0，得x=1，x=-class="stub"1
3
（舍）
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=-2
∴a≥-2
故实数a的取值范围[-2，+∞）

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