对于函数f(x)=a-22x+1(a∈R)．（1）探索函数f（x）的单调性；（2）是否存在实数a使得f（x）为奇函数．-数学

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对于函数f(x)=a-

2x+1

(a∈R)．
（1）探索函数f（x）的单调性；
（2）是否存在实数a使得f（x）为奇函数．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵f（x）的定义域为R，设x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=a-class="stub"1

2x1+1

-a+class="stub"1

2x2+1

2x1-2x2

(1+2x1)(1+2x2)

，（3分）
∵x1＜x2，∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，（5分）
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．（6分）
（2）假设存在实数a使f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x）（7分）
即a-class="stub"2

2-x+1

=-a+class="stub"2

2x+1

，（9分）
解得：a=1，故存在实数a使f（x）为奇函数．（12分）

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