首页 > 对于函数f(x)=a+22x+1(x∈R)，（1）用定义证明：f（x）在R上是单调减函数；（2）若f（x）是奇函数，求a值；（3）在（2）的条件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0．-数学

对于函数f(x)=a+22x+1(x∈R)，（1）用定义证明：f（x）在R上是单调减函数；（2）若f（x）是奇函数，求a值；（3）在（2）的条件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0．-数学

题目简介

对于函数f(x)=a+22x+1(x∈R)，（1）用定义证明：f（x）在R上是单调减函数；（2）若f（x）是奇函数，求a值；（3）在（2）的条件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0．-数学

题目详情

对于函数f(x)=a+
2
2x+1
(x∈R)，
（1）用定义证明：f（x）在R上是单调减函数；
（2）若f（x）是奇函数，求a值；
（3）在（2）的条件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明；设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=class="stub"2
2x1+1 
-class="stub"2
2x2+1
=
2x2-2x1
(2x1+1)(2x2+1)

∵y=2x在实数集上是增函数且函数值恒大于0，故2x2-2x1＞0，2x1+1＞0，2x2+1＞0．
即f（x1）-f（x2）＞0．
∴f（x）在R上是单调减函数
（2）由（1）的f（x）在R上是单调减函数，即函数定义域为R，
∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0⇒a=-1．
（3）有（1）（2）可得f（x）在R上是单调减函数且是奇函数
∴f（2t+1）+f（t-5）≤0．转化为f（2t+1）≤-f（t-5）=f（-t+5），⇒2t+1≥-t+5⇒t≥class="stub"4
3

故所求不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0的解集为：{t|t≥class="stub"4
3
}．

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