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已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+32）=-f（x），且函数y=f（x-34）是奇函数，给出以下四个命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）的图象关于点（-34，0）对称；③函数f

题目简介

已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+32）=-f（x），且函数y=f（x-34）是奇函数，给出以下四个命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）的图象关于点（-34，0）对称；③函数f

题目详情

已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+
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）=-f（x），且函数y=f（x-
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）是奇函数，给出以下四个命题：
①函数f（x）是周期函数；
②函数f（x）的图象关于点（-
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，0）对称；
③函数f（x）是偶函数；
④函数f（x）在R上是单调函数．
在上述四个命题中，正确命题的序号是______（写出所有正确命题的序号）
题型：填空题难度：中档来源：资中县模拟

答案

对于①：∵f（x+3）=-f（x+class="stub"3
2
）=f（x）∴函数f（x）是周期函数且其周期为3．①对
对于②：∵y=f（x-class="stub"3
4
）是奇函数∴其图象关于原点对称
又∵函数f（x）的图象是由y=f（x-class="stub"3
4
）向左平移class="stub"3
4
个单位长度得到．
∴函数f（x）的图象关于点（-class="stub"3
4
，0）对称，故②对．
对于③：由②知，对于任意的x∈R，都有f（-class="stub"3
4
-x）=-f（-class="stub"3
4
+x），用class="stub"3
4
+x换x，可得：f（-class="stub"3
2
-x）+f（x）=0
∴f（-class="stub"3
2
-x）=-f（x）=f（x+class="stub"3
2
）对于任意的x∈R都成立．
令t=class="stub"3
2
+x，则f（-t）=f（t），∴函数f（x）是偶函数，③对．
对于④：∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f（x）在R上不是单调函数，④不对．
故答案为：①②③．

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