已知函数f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t)(t∈R是参数)(1)当t=-1时,解不等式f(x)≤g(x).(2)如果x∈[0,1]时,f(x)≤g(x)恒成立,求参数t的范围.-数

题目简介

已知函数f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t)(t∈R是参数)(1)当t=-1时,解不等式f(x)≤g(x).(2)如果x∈[0,1]时,f(x)≤g(x)恒成立,求参数t的范围.-数

题目详情

已知函数f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t)(t∈R是参数)
(1)当t=-1时,解不等式f(x)≤g(x).
(2)如果x∈[0,1]时,f(x)≤g(x)恒成立,求参数t的范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)原不等式等价于
x+1>0
2x-1>0
x+1≤(2x-1)2
x>class="stub"1
2
4x2-5x≥0
,即
x>class="stub"1
2
x≤0或x≥class="stub"5
4
x≥class="stub"5
4
,所以原不等式的解集为{x|x≥class="stub"5
4
}

(2)由题意可知x∈[0,1]时,f(x)≤g(x)恒成立等价于x∈[0,1]时,有
x+1>0
2x+t>0
x+1≤(2x+t)2

x+1>0
t>-2x
t≥-2x+
x+1
恒成立
故x∈[0,1]时,t≥-2x+
x+1
恒成立,于是问题转化为求函数y=-2x+
x+1
x∈[0,1]的最大值,令μ=
x+1
,则x=μ2-1,μ∈[1,
2
]

y=-2x+
x+1
=-2(μ-class="stub"1
4
)2+class="stub"17
8
[1,
2
]
上是减函数,
故当μ=1即x=0时,-2x+
x+1
有最大值1,所以t的取值范围是t≥1.

更多内容推荐