已知函数f(x)=1+2x-1，g(x)=f（2x）（1）用定义证明函数g（x）在（-∞，0）上为减函数．（2）求g（x）在（-∞，-1]上的最小值．-数学

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已知函数f(x)=1+

x-1

，g(x)=f（2^x）
（1）用定义证明函数g（x）在（-∞，0）上为减函数．
（2）求g（x）在（-∞，-1]上的最小值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）g(x)=f(2x)=1+class="stub"2

2x-1

，
∵2x-1≠0⇒x≠0，∴函数g（x）的定义域{x|x∈R且x≠0}，
设x1，x2∈（-∞，0）且x1＜x2，
则g(x1)-g(x2)=class="stub"2

2x1-1

-class="stub"2

2x2-1

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

，
∵x1，x2∈（-∞，0）且x1＜x2，
∴2x2＞2x1且2x1＜1，2x2＜1⇒g(x1)-g(x2)＞0，即g(x1)＞g(x2)，
根据函数单调性的定义知：函数g（x）在（-∞，0）上为减函数．
（2）由（1）知函数g（x）在（-∞，0）上为减函数，
∴函数g（x）在（-∞，-1]上为减函数，
∴当x=-1时，g(x)min=g(-1)=1+class="stub"2

2-1-1

=-3．

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已知函数f(x)=1+2x-1，g(x)=f（2x）（1）用定义证明函数g（x）在（-∞，0）上为减函数．（2）求g（x）在（-∞，-1]上的最小值．-数学

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