探究函数f(x)=x+4x,x∈(0,+∞)取最小值时x的值,列表如下:x…0.511.51.71.922.12.22.33457…y…8.554.174.054.00544.0054.024.044

题目简介

探究函数f(x)=x+4x,x∈(0,+∞)取最小值时x的值,列表如下:x…0.511.51.71.922.12.22.33457…y…8.554.174.054.00544.0054.024.044

题目详情

探究函数f(x)=x+
4
x
,x∈(0,+∞)取最小值时x的值,列表如下:
x0.511.51.71.922.12.22.33457
y8.554.174.054.00544.0054.024.044.355.87.57
请观察表中y值随x值变化的特点,完成以下的问题:
(1)函数(x)=x+
4
x
(x>0)在区间(0,2)上递减;函数f(x)在区间______上递增.当x=______ 时,ymin=______.
(2)证明:函数f(x)=x+
4
x
(x>0)在区间(0,2)上递减.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

①由表格可知,函数f(x)在[2,+∞)上递增,当x=2时函数取得最小值4.
故答案为[2,+∞);2;4.
②证明:设x1,x2∈(0,2),且x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=(x1+class="stub"4
x1
)-(x2+class="stub"4
x2
)

=(x1-x2)+(class="stub"4
x1
-class="stub"4
x2
)=
(x1-x2)(x1x2-4)
x1x2

∵x1,x2∈(0,2),x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2∈(0,4)
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)
f(x)=x+class="stub"4
x
在区间(0,2)上递减.

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