已知定义域为R的函数f(x)=-2x+b2x+1+a是奇函数.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.-数学

题目简介

已知定义域为R的函数f(x)=-2x+b2x+1+a是奇函数.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.-数学

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已知定义域为R的函数f(x)=
-2x+b
2x+1+a
是奇函数.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:重庆

答案

(Ⅰ)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,
class="stub"b-1
a+2
=0⇒b=1∴f(x)=
1-2x
a+2x+1

又由f(1)=-f(-1)知class="stub"1-2
a+4
=-
1-class="stub"1
2
a+1
⇒a=2

所以a=2,b=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=
1-2x
2+2x+1
=-class="stub"1
2
+class="stub"1
2x+1

易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
又因为f(x)是奇函数,
所以f(t2-2t)+f(2t2-k)<0
等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),
因为f(x)为减函数,由上式可得:t2-2t>k-2t2.
即对一切t∈R有:3t2-2t-k>0,
从而判别式△=4+12k<0⇒k<-class="stub"1
3

所以k的取值范围是k<-class="stub"1
3

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