首页 > 函数f(x)=12x2-(a+b)x2+1+92，g（x）=ax2-b（a、b、x∈R），集合A={x|12x2-3x2+1+92≤0}，（1）求集合A；（2）如果b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0

函数f(x)=12x2-(a+b)x2+1+92，g（x）=ax2-b（a、b、x∈R），集合A={x|12x2-3x2+1+92≤0}，（1）求集合A；（2）如果b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0

题目简介

函数f(x)=12x2-(a+b)x2+1+92，g（x）=ax2-b（a、b、x∈R），集合A={x|12x2-3x2+1+92≤0}，（1）求集合A；（2）如果b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0

题目详情

函数f(x)=
1
2
x2- (a+b)
x2+1
+
9
2
，g（x）=ax2-b（a、b、x∈R），集合A={x|
1
2
x2-3
x2+1
+
9
2
≤0}，
（1）求集合A；
（2）如果b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0恒成立，求实数a的范围；
（3）如果b＞0，当“f（x）≥0对任意x∈A恒成立”与“g（x）≤0在x∈A内必有解”同时成立时，求a的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）令
x2+1
=t≥1，则x2=t2-1，
f（x）≤0，即class="stub"1
2
x2-3
x2+1
+class="stub"9
2
≤0，即t2-6t+8≤0，（t-2）（t-4）≤0
∴2≤t≤4，所以2≤
x2+1
≤4，所以x∈[-
15
，-
3
]∪[
3
，
15
]，
即A=[-
15
，-
3
]∪[
3
，
15
]；
（2）f（x）≥0恒成立也就是class="stub"1
2
x2- a
x2+1
+class="stub"9
2
≥0恒成立，
即class="stub"1
2
x2+class="stub"9
2
≥  a
x2+1
，
∵
x2+1
≥1，∴a≤
class="stub"1
2
x2+class="stub"9
2
x2+1
，
令
x2+1
=t，则t∈[2，4]，则y=
t2+8
2t
=class="stub"1
2
(t+class="stub"8
t
)，∴a≤y恒成立，∴a≤ymin，
由导数可知，当t=2
2
时，ymin=class="stub"1
2
×2
8
=2
2
，
∴a≤2
2

（3）对任意x∈A，f（x）≥0恒成立，∴a+b≤
class="stub"1
2
x2+class="stub"9
2
x2+1
=class="stub"1
2
x2+9
x2+1
，
由（2）可知a+b≤2
2
       ①，
由g（x）=ax2-b≤0有解，ax2-b≤0有解，即a≤(class="stub"b
x2
)max，
∵b＞0，∴a≤(class="stub"b
x2
)max=class="stub"b
3
，
∴3a-b≤0        ②
①+②可得a≤
2
2

所以a的最大值为
2
2
，此时b=
3
2
2
．

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