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已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1（1）求函数f（x）的极值点．（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．（3）证明：ln23+ln38+ln415+…+lnnn2-1＜(n

题目简介

已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1（1）求函数f（x）的极值点．（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．（3）证明：ln23+ln38+ln415+…+lnnn2-1＜(n

题目详情

已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1
（1）求函数f（x）的极值点．
（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．
（3）证明：
ln2
3
+
ln3
8
+
ln4
15
+…+
lnn
n2-1
＜
(n+4)(n-1)
6
（n∈N，n＞1）．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）f（x）的定义域为（1，+∞），f′（x）=class="stub"1
x-1
-k．
当k≤0时，∵x-1＞0，∴f′（x）＞0，则f（x） 在（1，+∞）上是增函数．
f（x）在（1，+∞）上无极值点．
当 k＞0时，令f′（x）=0，则 x=1+class="stub"1
k
． 所以当x∈（1，1+class="stub"1
k
 ）时，f′（x）=class="stub"1
x-1
-k＞class="stub"1
1+class="stub"1
k
-1
-k=0，
∴f（x）在∈（1，1+class="stub"1
k
 ）上是增函数，
当x∈（1+class="stub"1
k
，+∞） 时，f′（x）=class="stub"1
x-1
-k＜class="stub"1
1+class="stub"1
k
-1
-k=0，∴f（x）在∈（1+class="stub"1
k
，+∞）  上是减函数．
∴x=1+class="stub"1
k
 时，f（x）取得极大值． 
综上可知，当 k≤0时，f（x）无极值点；  当k＞0时，f（x）有唯一极值点 x=1+class="stub"1
k
．
（2）由1）可知，当k≤0时，f（2）=1-k＞0，f（x）≤0 不成立．
故只需考虑k＞0．
由1）知，f（x）max=f（1+class="stub"1
k
 ）=-lnk，
若f（x）≤0 恒成立，只需 f（x）max=f（1+class="stub"1
k
 ）=-lnk≤0 即可，
化简得：k≥1．所以，k 的取值范围是[1，+∞）．
3）由2）知，当k=1时，lnx＜x-1，x＞1．
∴lnn3＜n3-1=（n-1）（n2+n+1）＜（n-1）（n+1）2．
∴class="stub"lnn
n2-1
＜class="stub"n+1
3
，n∈N，n＞1．
∴class="stub"ln2
3
+class="stub"ln3
8
+class="stub"ln4
15
+…+class="stub"lnn
n2-1
＜class="stub"1
3
 （3+4+5+…+n+1）=class="stub"1
3
×
(3+n+1)
2
（n-1）
=
(n+4)(n-1)
6
，n∈N，n＞1．

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