设关于x的方程x2-mx-1=0有两个实根α,β,且α<β.定义函数f(x)=2x-mx2+1(1)当α=-1,β=1时,判断f(x)在R上的单调性,并加以证明;(2)求αf(α)+βf(β)的值.-

题目简介

设关于x的方程x2-mx-1=0有两个实根α,β,且α<β.定义函数f(x)=2x-mx2+1(1)当α=-1,β=1时,判断f(x)在R上的单调性,并加以证明;(2)求αf(α)+βf(β)的值.-

题目详情

设关于x的方程x2-mx-1=0有两个实根α,β,且α<β.定义函数f(x)=
2x-m
x2+1

(1)当α=-1,β=1时,判断f(x)在R上的单调性,并加以证明;
(2)求αf(α)+βf(β)的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵α=-1,β=1,
由韦达定理可得:m=α+β=0
f(x)=class="stub"2x
x2+1
------(2分)
设x1<x2,
f(x2)-f(x1)=
2x2
x22+1
-
2x1
x12+1
=
2x2.(x12+1)-2x1(x22+1)
(x22+1)(x12+1)
=
2(x2-x1)(1-x1x2)
(x22+1)(x12+1)

∵(x2-x1)>0,
当x2,x1>1时,(1-x1x2)<0,此时f(x2)-f(x1)<0,函数为减函数,
当-1<x2,x1<1时,(1-x1x2)>0,此时f(x2)-f(x1)>0,函数为增函数,
当x2,x1<-1时,(1-x1x2)<0,此时f(x2)-f(x1)<0,函数为减函数,(9分)
(2)∵α,β是方程x2-mx-1=0的两个实根,
α+β=m
α•β=-1

f(α)=class="stub"2α-m
α2+1
=
2α-(α+β)
α2-αβ
=class="stub"α-β
α(α-β)
=class="stub"1
α

同理f(β)=class="stub"1
β

∴αf(α)+βf(β)=α•class="stub"1
α
+β•class="stub"1
β
=1+1=2.(13分)

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