已知函数f(x)=2x2-(k2+k+1)x+15,g(x)=k2x-k,其中k∈R.(1)设p(x)=f(x)+g(x),若p(x)在(1,4)上有零点,求实数k的取值范围;(2)设函数q(x)=g

题目简介

已知函数f(x)=2x2-(k2+k+1)x+15,g(x)=k2x-k,其中k∈R.(1)设p(x)=f(x)+g(x),若p(x)在(1,4)上有零点,求实数k的取值范围;(2)设函数q(x)=g

题目详情

已知函数f(x)=2x2-(k2+k+1)x+15,g(x)=k2x-k,其中k∈R.
(1)设p(x)=f(x)+g(x),若p(x)在(1,4)上有零点,求实数k的取值范围;
(2)设函数q(x)=
g(x)x≥0
f(x)x<0
是否存在实数k,对任意给定的非零实数x1,存在唯一的非零实数x2(x2≠x1),使得q(x2)=q(x1)?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由题意可得 p(x)=f(x)+g(x)=2x2-(k+1)x+15-k 在(1,4)上有零点.
∴△=(k2+2k+1)-8(15-k)≥0,解得 k≤-17,或 k≥7.
若p(x)在(1,4)上有唯一零点,则 p(1)p(4)=(16-2k)(43-5k)<0 ①,
△>0
P(1)=0
P(4)>0
 ②,或 
△>0
P(1)>0
P(4)=0
 ③,或
P(1)>0
P(4)>0
△=0
 ④.
解①得 8<k<class="stub"43
5
,解②得k=8,解③得k∈∅,解④可得 k=7.
若p(x)在(1,4)上有2个零点,则有
△>0
P(1)>0
P(4)>0
1<class="stub"k+1
4
<4
,解得 7<k<8.
综上可得,实数k的取值范围为[7,class="stub"43
5
).
(2)函数q(x)=
g(x)x≥0
f(x)x<0
,即 q(x)=
2x -k  ,  x ≥0
 2x 2 -(2-k+1)x+15 ,  x<0

显然,k=0不满足条件,故k≠0.
当x≥0时,q(x)=k2x-k∈[-k,+∞).
当x<0时,q(x)=2x2-(k2+k+1)x+15∈(15,+∞).
记A=[-k,+∞),记 B=(15,+∞).
①当x2>0时,q(x)在(0,+∞)上是增函数,要使q(x2)=q(x1),则x1<0,且A⊊B,
故-k≥15,解得 k≤-15.
②当x2<0时,q(x)在(-∞,0)上是减函数,要使q(x2)=q(x1),则x1>0,且B⊊A,
故-k≤15,解得 k≥-15.
综上可得,k=-15满足条件.

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