已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义域为(-1,1)上的奇函数,且f(1)=12.(1)求f(x)的解析式;(2)用定义证明:f(x)在(-1,1)上是增函数;(3)若实数t满足f(2t-1)+f

题目简介

已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义域为(-1,1)上的奇函数,且f(1)=12.(1)求f(x)的解析式;(2)用定义证明:f(x)在(-1,1)上是增函数;(3)若实数t满足f(2t-1)+f

题目详情

已知函数f(x)=
ax+b
1+x2
是定义域为(-1,1)上的奇函数,且f(1)=
1
2

(1)求f(x)的解析式;
(2)用定义证明:f(x)在(-1,1)上是增函数;
(3)若实数t满足f(2t-1)+f(t-1)<0,求实数t的范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)函数f(x)=class="stub"ax+b
1+x2
是定义域为(-1,1)上的奇函数,
∴f(0)=0,∴b=0;…(3分)
又f(1)=class="stub"1
2
,∴a=1;…(5分)
f(x)=class="stub"x
1+x2
…(5分)
(2)设-1<x1<x2<1,则x2-x1>0,
于是f(x2)-f(x1)=
x2
x22+1
-
x1
x12+1
=
(x2-x1)(1-x1x2)
(x12+1)(x22+1)

又因为-1<x1<x2<1,则1-x1x2>0,
x21
+1>0
x22
+1>0

∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
∴函数f(x)在(-1,1)上是增函数;
(3)f(2t-1)+f(t-1)<0,∴f(2t-1)<-f(t-1); …(6分)
又由已知函数f(x)是(-1,1)上的奇函数,∴f(-t)=-f(t)…(8分)
∴f(2t-1)<f(1-t)…(3分)
由(2)可知:f(x)是(-1,1)上的增函数,…(10分)
∴2t-1<1-t,t<class="stub"2
3
,又由-1<2t-1<1和-1<1-t<1得0<t<class="stub"2
3

综上得:0<t<class="stub"2
3
…(13分)

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