首页 > 已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25．（1）求函数f（x）的解析式；（2）用单调性的定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t2-1

已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25．（1）求函数f（x）的解析式；（2）用单调性的定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t2-1

题目简介

已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25．（1）求函数f（x）的解析式；（2）用单调性的定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t2-1

题目详情

已知函数f(x)=
ax+b
1+x2
是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(
1
2
)=
2
5
．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用单调性的定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t2-1）+f（t）＜0．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵函数f(x)=class="stub"ax+b
1+x2
是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴由f（0）=0，得b=0．
又∵f(class="stub"1
2
)=class="stub"2
5
，∴
class="stub"1
2
a
1+class="stub"1
4
=class="stub"2
5
，解之得a=1；
因此函数f（x）的解析式为：f(x)=class="stub"x
1+x2
．
（2）设-1＜x1＜x2＜1，则 f(x1)-f(x2)=
x1
1+
x21
-
x2
1+
x22
=
(x1-x2)(1-x1x2)
(1+
x21
)(1+
x22
)

∵-1＜x1＜x2＜1，
∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0，
从而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
所以f（x）在（-1，1）上是增函数．
（3）∵f（x）是奇函数，
∴f（t2-1）+f（t）＜0即为f（t2-1）＜-f（t）=f（-t），
又∵f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴f（t2-1）＜f（-t）即为t2-1＜-t，解之得：-
1+
5
2
＜t＜
-1+
5
2
…①
又∵
-1＜t2-1＜1
-1＜t＜1
，解之得-1＜t＜1且t≠0…②
对照①②，可得t的范围是：(-1，0)∪(0，
-1+
5
2
)．
所以，原不等式的解集为(-1，0)∪(0，
-1+
5
2
)．

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