首页 > 设函数f（x）=x2+2x-2ln（1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1e-1，e-1]时，是否存在整数m，使不等式m＜f（x）≤-m2+2m+e2恒成立？若存在，求整数m的值；

设函数f（x）=x2+2x-2ln（1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1e-1，e-1]时，是否存在整数m，使不等式m＜f（x）≤-m2+2m+e2恒成立？若存在，求整数m的值；

题目简介

设函数f（x）=x2+2x-2ln（1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1e-1，e-1]时，是否存在整数m，使不等式m＜f（x）≤-m2+2m+e2恒成立？若存在，求整数m的值；

题目详情

设函数f（x）=x2+2x-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[
1
e
-1，e-1]时，是否存在整数m，使不等式m＜f（x）≤-m2+2m+e2恒成立？若存在，求整数m的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）关于x的方程f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

解析：（Ⅰ）由1+x＞0得函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
f′(x)=2x+2-class="stub"2
x+1
=
2x(x+2)
x+1
．
由f′（x）＞0得x＞0；由f′（x）＜0得-1＜x＜0，
∴函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；递减区间是（-1，0）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[class="stub"1
e
-1，0]上递减，在[0，e-1]上递增．
∴f（x）min=f（0）=0
又∵f(class="stub"1
e
-1)=class="stub"1
e2
+1，f（e-1）=e2-3，且e2-3＞class="stub"1
e2
+1，
∴x∈[class="stub"1
e
-1，e-1]时，f（x）max=e2-3．
∵不等式m＜f（x）≤-m2+2m+e2恒成立，
∴
-m2+2m+e2≥f(x)max
m＜f(x)min  
，
即
-m2+2m+e2≥e2-3
m＜0  
⇒
m2-2m-3≤0
m＜0  
⇒
-1≤m≤3
m＜0  
⇒-1≤m＜0
∵m是整数，∴m=-1．
∴存在整数m，使不等式m＜f（x）≤-m2+2m+e2恒成立．
（Ⅲ）由f（x）=x2+x+a得x-a-2ln（1+x）=0，x∈[0，2]
令g（x）=x-a-2ln（1+x），则g′(x)=1-class="stub"2
1+x
=class="stub"x-1
x+1
，x∈[0，2]
由g′（x）＞0得1＜x≤2；由g′（x）＜0得0≤x＜1．
∴g（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增．
∵方程f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰有两个相异的实根，
∴函数g（x）在[0，1）和（1，2]上各有一个零点，
∴
g(0)≥0
g(1)＜0
g(2)≥0
⇒
-a≥0
1-a-2ln2＜0
2-a-2ln3≥0
⇒
a≤0
a＞1-2ln2
a≤2-2ln3
⇒1-2ln2＜a≤2-2ln3，
∴实数a的取值范围是1-2ln2＜a≤2-2ln3

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