首页 > 已知函数f(x)=1-x21+x+x2(x∈R)．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若（et+2）x2+etx+et-2≥0对满足|x|≤1的任意实数x恒成立，求实数t的取值范围（这里e是自

已知函数f(x)=1-x21+x+x2(x∈R)．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若（et+2）x2+etx+et-2≥0对满足|x|≤1的任意实数x恒成立，求实数t的取值范围（这里e是自

题目简介

已知函数f(x)=1-x21+x+x2(x∈R)．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若（et+2）x2+etx+et-2≥0对满足|x|≤1的任意实数x恒成立，求实数t的取值范围（这里e是自

题目详情

已知函数f(x)=
1-x2
1+x+x2
(x∈R)．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若（et+2）x2+etx+et-2≥0对满足|x|≤1的任意实数x恒成立，求实数t的取值范围（这里e是自然对数的底数）；
（Ⅲ）求证：对任意正数a、b、λ、μ，恒有f[(
λa+μb
λ+μ
)2]-f(
λa2+μb2
λ+μ
)≥(
λa+μb
λ+μ
)2-
λa2+μb2
λ+μ
．
题型：解答题难度：中档来源：黄冈模拟

答案

（Ⅰ）f′(x)=
-2x(1+x+x2)-(2x+1)(1-x2)
(1+x+x2)2
=
-[x-(-2+
3
)]•[x-(-2-
3
)]
(1+x+x2)2

∴f（x）的增区间为(-2-
3
，-2+
3
)，f（x）减区间为(-∞，-2-
3
)和(-2+
3
，+∞)．
极大值为f(-2+
3
)=
2
3
3
，极小值为f(-2-
3
)=-
2
3
3
．…4分
（Ⅱ）原不等式可化为et≥
2(1-x2)
1+x+x2
由（Ⅰ）知，|x|≤1时，f（x）的最大值为
2
3
3
．
∴
2(1-x2)
1+x+x2
的最大值为
4
3
3
，由恒成立的意义知道et≥
4
3
3
，从而t≥ln
4
3
3
…8分
（Ⅲ）设g(x)=f(x)-x=
1-x2
1+x+x2
-x(x＞0)
则g′(x)=f′(x)-1=
-(x2+4x+1)
(1+x+x2)2
-1=-
x4+2x3+4x2+6x+2
(1+x+x2)2
．
∴当x＞0时，g'（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上是减函数，
又当a、b、λ、μ是正实数时，(class="stub"λa+μb
λ+μ
)2-
λa2+μb2
λ+μ
=-
λμ(a-b)2
(λ+μ)2
≤0
∴(class="stub"λa+μb
λ+μ
)2≤
λa2+μb2
λ+μ
．
由g（x）的单调性有：f[(class="stub"λa+μb
λ+μ
)2]-(class="stub"λa+μb
λ+μ
)2≥f(
λa2+μb2
λ+μ
)-
λa2+μb2
λ+μ
，
即f[(class="stub"λa+μb
λ+μ
)2]-f(
λa2+μb2
λ+μ
)≥(class="stub"λa+μb
λ+μ
)2-
λa2+μb2
λ+μ
．…12分

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