已知定义在R上的函数f(x)=b-2x2x+a是奇函数(1)求a,b的值;(2)判断f(x)在R上的单调性并用定义证明.-数学

题目简介

已知定义在R上的函数f(x)=b-2x2x+a是奇函数(1)求a,b的值;(2)判断f(x)在R上的单调性并用定义证明.-数学

题目详情

已知定义在R上的函数f(x)=
b-2x
2x+a
是奇函数
(1)求a,b的值;
(2)判断f(x)在R上的单调性并用定义证明.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=class="stub"b-1
a+1
=0,解得b=1;
则f(x)=
1-2x
a+2x

因为f(-x)=
1-2-x
a+2-x
=
2x-1
a•2x+1
=-f(x)=
2x-1
a+2x

所以a•2x+1=a+2x,即a(2x-1)=2x-1对任意实数x都成立,
所以a=1,故a=b=1.
(2)f(x)=
1-2x
1+2x
=class="stub"2
1+2x
-1,f(x)在R上是减函数,
证明:任取x1,x2且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=class="stub"2
1+2x1
-class="stub"2
1+2x2
=
2(2x2-2x1)
(1+2x1)(1+2x2)

因为x1<x2,所以2x2-2x1>0
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故f(x)在R上是减函数.

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