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函数f（x）的定义域为R，且f（x）的值不恒为0，又对于任意的实数m，n，总有f(m)f(n)=mf(n2)+nf(m2)成立．（1）求f（0）的值；（2）求证：t•f（t）≥0对任意的t∈R成立；（

题目简介

函数f（x）的定义域为R，且f（x）的值不恒为0，又对于任意的实数m，n，总有f(m)f(n)=mf(n2)+nf(m2)成立．（1）求f（0）的值；（2）求证：t•f（t）≥0对任意的t∈R成立；（

题目详情

函数f（x）的定义域为R，且f（x）的值不恒为0，又对于任意的实数m，n，总有f(m)f(n)=mf(
n
2
)+nf(
m
2
)成立．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：t•f（t）≥0对任意的t∈R成立；
（3）求所有满足条件的函数f（x）．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）令m=n=0
∴f2（0）=0∴f（0）=0
（2）令m=n
∴
f2 
(m)=2mf(class="stub"m
2
)=4•class="stub"m
2
•f(class="stub"m
2
)＞0
∴对于任意的tt•f(t)=class="stub"1
4
f2 
(2t)≥0
∴即证
（3）令m=2n=2x
∴f(2x)•f(x)=2xf(class="stub"x
2
)+x•f(x)=f2（x）+xf（x）
当f（x）=0时恒成立，
当f（x）≠0时有，
∴f2（2x）=[f（x）+x]2=4xf（x）
∴f（x）=x．

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