已知函数f(x)=13x3+2x,对任意的t∈[-3,3],f(tx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围是______.-数学

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已知函数f(x)=13x3+2x,对任意的t∈[-3,3],f(tx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围是______.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
1
3
x3+2x,对任意的t∈[-3,3],f(tx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围是______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

∵f(x)=class="stub"1
3
x3+2x,∴f(-x)=-class="stub"1
3
x3-2x,∴函数是奇函数;
∵f(tx-2)+f(x)<0,∴f(tx-2)<f(-x)
求导函数可得f′(x)=x2+2>0,∴函数是R上的增函数
∴tx-2<-x
∴tx-2+x<0
∵对任意的t∈[-3,3],f(tx-2)+f(x)<0恒成立,
-3x-2+x<0
3x-2+x<0

∴-1<x<class="stub"1
2

故答案为:(-1,class="stub"1
2
).

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