首页 > 已知函数f（x）=x|x-a|+2x．（1）若a=4时，求函数f（x）的单调减区间；（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方；（3）若存

已知函数f（x）=x|x-a|+2x．（1）若a=4时，求函数f（x）的单调减区间；（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方；（3）若存

题目简介

已知函数f（x）=x|x-a|+2x．（1）若a=4时，求函数f（x）的单调减区间；（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方；（3）若存

题目详情

已知函数f（x）=x|x-a|+2x．
（1）若a=4时，求函数f（x）的单调减区间；
（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方；
（3）若存在a∈[-4，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）a=4时，f（x）=x|x-4|+2x=
x2-2x，x≥4
6x-x2，x＜4
，
当x≥4时，f（x）=x2-2x的增区间是[4，+∞），无减区间．
当x＜4时，f（x）=6x-x2增区间是（-∞，3]，减区间是[3，4]，
综上所述，f（x）的单调减区间为[3，4]．…（4分）
（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，
即x|x-a|＜1，当x∈[1，2]恒成立，即|x-a|＜class="stub"1
x
，-class="stub"1
x
＜x-a＜class="stub"1
x
，
x-class="stub"1
x
＜a＜x+class="stub"1
x
，故只要x-class="stub"1
x
＜a，且a＜x+class="stub"1
x
在x∈[1，2]上恒成立即可，
在x∈[1，2]时，只要x-class="stub"1
x
的最大值小于a，
且x+class="stub"1
x
的最小值大于a即可，…（6分）
而当x∈[1，2]时，（x-class="stub"1
x
）′=1+class="stub"1
x2
＞0，x-class="stub"1
x
为增函数，(x-class="stub"1
x
)max=class="stub"3
2
；
当x∈[1，2]时，（x+class="stub"1
x
）′=1-class="stub"1
x2
＞0，x+class="stub"1
x
为增函数，（x+class="stub"1
x
）min=2，
所以class="stub"3
2
＜a＜2．…（10分）
（3）当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，
则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根，…（11分）
则当a∈（2，4]时，由f（x）=
x2+(2-a)x，x≥a
-x2+(2+a)x，x＜a
，
得x≥a时，f（x）=x2+（2-a）x，对称轴x=class="stub"a-2
2
＜a，
则f（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为[f（a），+∞）=[2a，+∞），
x＜a时，f（x）=-x2+（2+a）x，对称轴x=class="stub"a+2
2
＜a，
则f（x）在x∈（-∞，class="stub"a+2
2
]为增函数，此时f（x）的值域为（-∞，
(a+2)2
4
]，
f（x）在x∈[class="stub"a+2
2
，a）为减函数，此时f（x）的值域为（2a，
(a+2)2
4
]；
由存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，
则2ta∈（2a，
(a+2)2
4
），
即存在a∈（2，4]，使得t∈（1，
(a+2)2
8a
）即可，
令g（a）=
(a+2)2
8a
=class="stub"1
8
(a+class="stub"4
a
+4)，
只要使t＜（g（a））max即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函数，
∴(g(a))max=g(4)=class="stub"9
8
，
故实数t的取值范围为（1，class="stub"9
8
）；…（15分）
同理可求当a∈[-4，-2）时，t的取值范围为（1，class="stub"9
8
）；
综上所述，实数t的取值范围为（1，class="stub"9
8
）．…（17分）

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