首页 > 已知函数f（x）=x+ax+a，x∈[1，+∞），且a＜1（1）判断f（x）单调性并证明；（2）若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．（3）若函数g（x）=xf（x）对任意x∈[2，

已知函数f（x）=x+ax+a，x∈[1，+∞），且a＜1（1）判断f（x）单调性并证明；（2）若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．（3）若函数g（x）=xf（x）对任意x∈[2，

题目简介

已知函数f（x）=x+ax+a，x∈[1，+∞），且a＜1（1）判断f（x）单调性并证明；（2）若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．（3）若函数g（x）=xf（x）对任意x∈[2，

题目详情

已知函数f（x）=x+
a
x
+a，x∈[1，+∞），且a＜1
（1）判断f（x）单调性并证明；
（2）若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．
（3）若函数g（x）=xf（x）对任意x∈[2，5]时，g（x）+2x+
3
2
＞0恒成立，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由题得f（x）=x+class="stub"a
x
+a，设1≤x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=x1-x2+class="stub"a
x1
-class="stub"a
x2
=(x1-x2)
(x1x2-a)
x1x2
…（2分）
因为1≤x1＜x2，所以x1-x20．所以f（x1）-f（x2）＜0…（4分）
所以f（x1）＜f（x2），即f（x）在[1，+∞）上为增函数．…（5分）
（2）由（1）得：f（x）在[1，+∞）上为增函数，要满足f（3m）＞f（5-2m），
只要1≤5-2m＜3m，得1＜m≤2…（7分）
（3）g（x）=xf（x）=x2+ax+a，由g（x）+2x+class="stub"3
2
＞0得：x2+a(x+1)+2x+class="stub"3
2
＞0，即a(x+1)＞-(x+1)2-class="stub"1
2
 ①
因为x∈[2，5]时，x+1∈[3，6]，那么①式可转化为a＞-(x+1)-class="stub"1
2(x+1)
…（9分）
所以题目等价于化为a＞-(x+1)-class="stub"1
2(x+1)
在x∈[2，5]上恒成立．即a大于函数y=-(x+1)-class="stub"1
2(x+1)
在x∈[2，5]上的最大值．
即求y=(x+1)+class="stub"1
2(x+1)
在x∈[2，5]上的最小值．…（10分）
令t=x+1，则t∈[3，6]，所以y=t+class="stub"1
2t
，由（1）得y=t+class="stub"1
2t
，
在t∈[3，6]，上为增函数，所以最小值为class="stub"19
6
．所以-class="stub"19
6
＜a＜1．…（12分）

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