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> 设f(x)是定义在集合D上的函数,若对集合D中的任意两数x1,x2恒有f(14x1+34x2)<14f(x1)+34f(x2)成立,则f(x)是定义在D上的β函数.(1)试判断f(x)=x2是否是其定
设f(x)是定义在集合D上的函数,若对集合D中的任意两数x1,x2恒有f(14x1+34x2)<14f(x1)+34f(x2)成立,则f(x)是定义在D上的β函数.(1)试判断f(x)=x2是否是其定
题目简介
设f(x)是定义在集合D上的函数,若对集合D中的任意两数x1,x2恒有f(14x1+34x2)<14f(x1)+34f(x2)成立,则f(x)是定义在D上的β函数.(1)试判断f(x)=x2是否是其定
题目详情
设f(x)是定义在集合D上的函数,若对集合D中的任意两数x
1
,x
2
恒有
f(
1
4
x
1
+
3
4
x
2
)<
1
4
f(
x
1
)+
3
4
f(
x
2
)
成立,则f(x)是定义在D上的β函数.
(1)试判断f(x)=x
2
是否是其定义域上的β函数?
(2)设f(x)是定义在R上的奇函数,求证:f(x)不是定义在R上的β函数.
(3)设f(x)是定义在集合D上的函数,若对任意实数α∈[0,1]以及集合D中的任意两数x
1
,x
2
恒有f(αx
1
+(1-α)x
2
)≤αf(x
1
)+(1-α)f(x
2
),则称f(x)是定义在D上的α-β函数.已知f(x)是定义在R上的α-β函数,m是给定的正整数,设a
n
=f(n),n=1,2,3…m且a
0
=0,a
m
=2m,记∫=a
1
+a
2
+a
3
+…+a
m
,对任意满足条件的函数f(x),求∫的最大值.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)∵
f(
class="stub"1
4
x
1
+
class="stub"3
4
x
2
)-[
class="stub"1
4
f(
x
1
)+
class="stub"3
4
f(
x
2
)]
=
(
class="stub"1
4
x
1
+
class="stub"3
4
x
2
)
2
-(
class="stub"1
4
x
1
2
+
class="stub"3
4
x
2
2
)
=
-
class="stub"3
16
x
1
2
-
class="stub"7
16
x
2
2
+
class="stub"3
8
x
1
x
2
=-
class="stub"3
16
(
x
1
-
x
2
)
2
-
class="stub"5
8
x
2
2
<0
∴对定义域中的任意两数x1,x2恒有
f(
class="stub"1
4
x
1
+
class="stub"3
4
x
2
)<
class="stub"1
4
f(
x
1
)+
class="stub"3
4
f(
x
2
)
成立,
∴f(x)=x2是其定义域上的β函数;
(2)证明:∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0
∴x1=x2=0时,
f(
class="stub"1
4
×0+
class="stub"3
4
×0)=
class="stub"1
4
f(0)+
class="stub"3
4
f(0)
∴f(x)不是定义在R上的β函数.
(3)(Ⅱ) 对任意0≤n≤m,取x1=m,x2=0,α=
class="stub"n
m
∈[0,1],
∵f(x)是R上的α-β函数,an=f(n),且a0=0,am=2m,
∴an=f(n)=f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2)=
class="stub"n
m
×2m=2n;
那么∫=a1+a2+…+am≤2×(1+2+…+m)=m2+m.
可知f(x)=2x是α-β函数,且使得an=2n(n=0,1,2,…,m)都成立,此时∫=m2+m.
综上所述,∫的最大值为m2+m.
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题目简介
设f(x)是定义在集合D上的函数,若对集合D中的任意两数x1,x2恒有f(14x1+34x2)<14f(x1)+34f(x2)成立,则f(x)是定义在D上的β函数.(1)试判断f(x)=x2是否是其定
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答案
=-
∴对定义域中的任意两数x1,x2恒有f(
∴f(x)=x2是其定义域上的β函数;
(2)证明:∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0
∴x1=x2=0时,f(
∴f(x)不是定义在R上的β函数.
(3)(Ⅱ) 对任意0≤n≤m,取x1=m,x2=0,α=
∵f(x)是R上的α-β函数,an=f(n),且a0=0,am=2m,
∴an=f(n)=f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2)=
那么∫=a1+a2+…+am≤2×(1+2+…+m)=m2+m.
可知f(x)=2x是α-β函数,且使得an=2n(n=0,1,2,…,m)都成立,此时∫=m2+m.
综上所述,∫的最大值为m2+m.