首页 > 已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(π2)=1．（1）求f(π4)及f(3π2)的值；（2）求证：f（x）为奇函数且是周

已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(π2)=1．（1）求f(π4)及f(3π2)的值；（2）求证：f（x）为奇函数且是周

题目简介

已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(π2)=1．（1）求f(π4)及f(3π2)的值；（2）求证：f（x）为奇函数且是周

题目详情

已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(
π
2
)=1．
（1）求f(
π
4
)及f(
3π
2
)的值；
（2）求证：f（x）为奇函数且是周期函数．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取x=class="stub"π
4
，y=class="stub"π
4
，得f(class="stub"π
4
+class="stub"π
4
)+f(class="stub"π
4
-class="stub"π
4
)=2f(class="stub"π
4
)cosclass="stub"π
4
，
即f(class="stub"π
2
)+f(0)=
2
f(class="stub"π
4
)，…（3分）
又已知f(0)=0，f(class="stub"π
2
)=1，
所以f(class="stub"π
4
)=
2
2
．…（4分）
在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取x=π，y=class="stub"π
2
，得f(π+class="stub"π
2
)+f(π-class="stub"π
2
)=2f(π)cosclass="stub"π
2
，
即f(class="stub"3π
2
)+f(class="stub"π
2
)=0，…（7分）
又已知f(class="stub"π
2
)=1，
所以f(class="stub"3π
2
)=-1．…（8分）
证明：（2）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取x=0，
得f（0+y）+f（0-y）=2f（0）cosy，
又已知f（0）=0，
所以f（y）+f（-y）=0，
即f（-y）=-f（y），
f（x）为奇函数．…（11分）
在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取y=class="stub"π
2
，得f(x+class="stub"π
2
)+f(x-class="stub"π
2
)=0，
于是有f(x+class="stub"3π
2
)+f(x+class="stub"π
2
)=0，
所以f(x+class="stub"3π
2
)=f(x-class="stub"π
2
)，
即f（x+2π）=f（x），
f（x）是周期函数．…（14分）

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