已知a＞0，≠1，f（logax）=aa2-1（x-1x）．（1）求函数f（x）的表达式，并写出函数f（x）的定义域；（2）判断f（x）的单调性，并给出证明；（3）若不等式f（x2）+f（kx+1）≤

题目简介

已知a＞0，≠1，f（loga^x）=

a2-1

（x-

）．
（1）求函数f（x）的表达式，并写出函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的单调性，并给出证明；
（3）若不等式f（x²）+f（kx+1）≤0对实数x∈（1，2）恒成立，求实数k的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）令logax=t则x=at
所以f（t）=class="stub"a

a2-1

（at-a-t）
f（x）=class="stub"a

a2-1

（ax-a-x），定义域为R

（2）f′（x）=class="stub"a

a2-1

lna（ax+a-x）
当a＞1时，class="stub"a

a2-1

＞0，lna＞0，
f′（x）＞0，f（x）在R上单增
当0＜a＜1时，class="stub"a

a2-1

＜0，lna＜0f′（x）＞0，f（x）在R上单增
总之f（x）在R单增

（3）∵f（x）=class="stub"a

a2-1

(ax-a-x)
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x2）+f（kx+1）≤0
即为f（x2）≤f（-kx-1）
∵f（x）单增
∴不等式f（x2）+f（kx+1）≤0对实数x∈（1，2）恒成立
即为x2≤-kx-1对实数x∈（1，2）恒成立
即-k≥x+class="stub"1

对实数x∈（1，2）恒成立
∵x+class="stub"1

∈(2，class="stub"5

)
∴-k≥class="stub"5

∴k≤-class="stub"5