已知函数f(x)=2x+3x+1(x≠-1).(1)求函数f(x)的值域;(2)求函数f(x)的反函数f-1(x);(3)证明:f-1(x)在(2,+∞)上为减函数.-数学

题目简介

已知函数f(x)=2x+3x+1(x≠-1).(1)求函数f(x)的值域;(2)求函数f(x)的反函数f-1(x);(3)证明:f-1(x)在(2,+∞)上为减函数.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
2x+3
x+1
    (x≠-1)

(1)求函数f ( x )的值域;
(2)求函数f ( x )的反函数f-1(x);
(3)证明:f-1(x)在(2,+∞)上为减函数.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)函数f(x)=class="stub"2x+3
x+1
  
=2+class="stub"1
x+1
    

class="stub"1
x+1
≠0    

∴函数f ( x )≠2
故函数f ( x )的值域为(-∞,2)∪(2,+∞)
(2)∵y=f(x)=class="stub"2x+3
x+1
  
=2+class="stub"1
x+1
    

∴y-2=class="stub"1
x+1
    

∴x+1=class="stub"1
y-2

∴x=class="stub"1
y-2
-1(y≠2)
即f-1(x)=class="stub"1
x-2
-1(x≠2)
证明;(3)任取区间(2,+∞)上两个实数x1,x2,且x1<x2,
则x1-2>0,x2-2>,x2-x1>0
则f(x1)-f(x2)=(class="stub"1
x1-2
-1)-(class="stub"1
x2-2
-1)
=class="stub"1
x1-2
-class="stub"1
x2-2

=
x2-x1
(x1-2)•(x2-2)
>0
即f(x1)>f(x2)
即f-1(x)在(2,+∞)上为减函数

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