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> 已知函数f(x)是二次函数,不等式f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3},且f(x)在区间[-1,1]上的最小值是4.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)设g(x)=x+5-f(x),若对任意的x∈(-
已知函数f(x)是二次函数,不等式f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3},且f(x)在区间[-1,1]上的最小值是4.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)设g(x)=x+5-f(x),若对任意的x∈(-
题目简介
已知函数f(x)是二次函数,不等式f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3},且f(x)在区间[-1,1]上的最小值是4.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)设g(x)=x+5-f(x),若对任意的x∈(-
题目详情
已知函数f(x)是二次函数,不等式f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3},且f(x)在区间[-1,1]上的最小值是4.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)设g(x)=x+5-f(x),若对任意的
x∈(-∞,-
3
4
]
,
g(
x
m
)-g(x-1)≤4[
m
2
g(x)+g(m)]
均成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(Ⅰ)由f(x)≥0解集为{x|-2≤x≤3},可设f(x)=a(x+2)(x-3)=a(x2-x-6),且a<0
对称轴
x=
class="stub"1
2
,开口向下,f(x)min=f(-1)=-4a=4,解得a=-1,f(x)=-x2+x+6;…(5分)
(Ⅱ)g(x)=x+5+x2-x-6=x2-1,
g(
class="stub"x
m
)-g(x-1)≤4[
m
2
g(x)+g(m)]
恒成立
即
x
2
m
2
-1-(x-1
)
2
+1≤4[
m
2
(
x
2
-1)+
m
2
-1]
对
x∈(-∞,-
class="stub"3
4
]
恒成立
化简
(
class="stub"1
m
2
-4
m
2
)
x
2
≤
x
2
-2x-3
,即
class="stub"1
m
2
-4
m
2
≤
-
class="stub"3
x
2
-
class="stub"2
x
+1
对
x∈(-∞,-
class="stub"3
4
]
恒成立…(8分)
令
y=-
class="stub"3
x
2
-
class="stub"2
x
+1
,记
t=
class="stub"1
x
∈[-
class="stub"4
3
,0)
,则y=-3t2-2t+1,
二次函数开口向下,对称轴为
t
0
=-
class="stub"1
3
,当
t=-
class="stub"4
3
时
y
min
=-
class="stub"5
3
,
故
class="stub"1
m
2
-4
m
2
≤-
class="stub"5
3
…(10分)
所以(3m2+1)(4m2-3)≥0,解得
m≤-
3
2
或
m≥
3
2
…(12分)
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