设函数f(x)=x+λx,常数λ>0.(1)若λ=1,判断f(x)在区间[1,4]上的单调性,并加以证明;(2)若f(x)在区间[1,4]上的单调递增,求λ的取值范围.-数学

题目简介

设函数f(x)=x+λx,常数λ>0.(1)若λ=1,判断f(x)在区间[1,4]上的单调性,并加以证明;(2)若f(x)在区间[1,4]上的单调递增,求λ的取值范围.-数学

题目详情

设函数f(x)=x+
λ
x
,常数λ>0.
(1)若λ=1,判断f(x)在区间[1,4]上的单调性,并加以证明;
(2)若f(x)在区间[1,4]上的单调递增,求λ的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f(x)=x+class="stub"1
x
,∀x1,x2∈[1,4]且x1<x2
f(x1)-f(x2)=(x1+class="stub"1
x1
)-(x2+class="stub"1
x2
)=(x1-x2)
x1x2-1
x1x2
…(3分)
∵x1,x2∈[1,4],x1<x2
∴x1-x2<0,x1x2>0,x1x2-1>0
∴f(x1)-f(x2)<0
∴f(x)在区间[1,4]上的单调递增.…(6分)
(2)∀x1,x2∈[1,4]且x1<x2
f(x1)-f(x2)=(x1+class="stub"λ
x1
)-(x2+class="stub"λ
x2
)=(x1-x2)
x1x2
x1x2
…(8分)
∵f(x)在区间[1,4]上的单调递增
∴f(x1)-f(x2)<0
∵1≤x1<x2≤4,
∴x1x2-λ>0对∀x1,x2∈[1,4]且x1<x2恒成立…(10分)
即λ<x1x2
∴λ≤1
∵λ>0
∴0<λ≤1…(12分)

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