首页 > 已知f（x）在（-1，1）上有定义，f（12）=-1，且满足x，y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=f（x+y1+xy）（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；（2）对数列x1=12，xn+

已知f（x）在（-1，1）上有定义，f（12）=-1，且满足x，y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=f（x+y1+xy）（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；（2）对数列x1=12，xn+

题目简介

已知f（x）在（-1，1）上有定义，f（12）=-1，且满足x，y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=f（x+y1+xy）（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；（2）对数列x1=12，xn+

题目详情

已知f（x）在（-1，1）上有定义，f（
1
2
）=-1，且满足x，y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=f（
x+y
1+xy
）
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（2）对数列x1=
1
2
，xn+1=
2xn
1+xn2
，求f（xn）；
（3）求证
1
f(x1)
+
1
f(x2)
+…+
1
f(xn)
＞-
2n+5
n+2
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）证明：令x=y=0，∴2f（0）=f（0），∴f（0）=0
令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（x）+f（-x）=0∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数（4分）
（Ⅱ）f（x1）=f（class="stub"1
2
）=-1，f（xn+1）=f（
2xn
1+xn2
）=f（
xn+xn
1+xn•x n
）=f（xn）+f（xn）=2f（xn）
∴
f(xn+1)
f(xn)
=2即{f（xn）}是以-1为首项，2为公比的等比数列
∴f（xn）=-2n-1
（Ⅲ）class="stub"1
f(x1)
+class="stub"1
f(x2)
++class="stub"1
f(xn)
=(1+class="stub"1
2
+class="stub"1
22
++class="stub"1
2n-1
)=-
1-class="stub"1
2n
1-class="stub"1
2
=-(2-class="stub"1
2n-1
)=-2+class="stub"1
2n-1
＞-2
而-class="stub"2n+5
n+2
=-(2+class="stub"1
n+2
)=-2-class="stub"1
n+2
＜-2
∴class="stub"1
f(x1)
+class="stub"1
f(x2)
++class="stub"1
f(xn)
＞-class="stub"2n+5
n+2

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