首页 > 已知定义在[-1，1]上的奇函数f（x），当x∈（0，1]时，f(x)=2x4x+1．（1）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式；（2）试用函数单调性定义证明：f（x）在（0，1]上是减函数；（3）

已知定义在[-1，1]上的奇函数f（x），当x∈（0，1]时，f(x)=2x4x+1．（1）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式；（2）试用函数单调性定义证明：f（x）在（0，1]上是减函数；（3）

题目简介

已知定义在[-1，1]上的奇函数f（x），当x∈（0，1]时，f(x)=2x4x+1．（1）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式；（2）试用函数单调性定义证明：f（x）在（0，1]上是减函数；（3）

题目详情

已知定义在[-1，1]上的奇函数f（x），当x∈（0，1]时，f(x)=
2x
4x+1
．
（1）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）试用函数单调性定义证明：f（x）在（0，1]上是减函数；
（3）要使方程f（x）=x+b，在[-1，1]上恒有实数解，求实数b的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）当x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]．
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-
2-x
4-x+1
=-
2x
4x+1

由f（0）=f（-0）=-f（0），
∴在区间[-1，1]上，有f（x）=
2x
4x+1
   x∈(0，1]
-
2x
4x+1
    x∈[-1，0)
0               x∈{0}
，
（2）证明当x∈（0，1]时，f（x）=
2x
4x+1
，设0＜x1＜x2＜1，
则f（x1）-f（x2）=
2x1
4x1+1
-
2x2
4x2+1
=
(2x2-2x1)(2x1+x2-1)  
(4x1+1)(4x2+1) 

∵0＜x1＜x2＜1，∴2x2-2x1＞0，2x2+x1-1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故f（x）在（0，1）上单调递减；
（3）f（x）=x+b在[-1，1]上有实数解，转化为b=f（x）-x，
f（x）-x在[-1，0），（0，1]上单调递减；
∴f（x）-x的值域为 (-class="stub"1
2
，-class="stub"3
5
)∪(class="stub"3
5
，class="stub"1
2
)∪{0}，
∴实数b的取值范围为(-class="stub"1
2
，-class="stub"3
5
)∪(class="stub"3
5
，class="stub"1
2
)∪{0}．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网