定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意m,n∈(-1,1),都有f(m)+f(n)=f(m+n1+mn),且当x∈(-1,0)时,有f(x)>0(1)试判断f(x)的奇偶性;(2)判断f(x)

题目简介

定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意m,n∈(-1,1),都有f(m)+f(n)=f(m+n1+mn),且当x∈(-1,0)时,有f(x)>0(1)试判断f(x)的奇偶性;(2)判断f(x)

题目详情

定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意m,n∈(-1,1),都有f(m)+f(n)=f(
m+n
1+mn
)
,且当x∈(-1,0)时,有f(x)>0
(1)试判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)的单调性,并证明之;
(3)求证f(
1
5
)+f(
1
11
)+…+f(
1
n2+3n+1
)>f(
1
2
)
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)令m=n=0得f(0)+f(0)=f(0)⇒f(0)=0
∴f(-m)+f(m)=f(0)=0⇒f(-m)=-f(m)
∴f(x)在(-1,1)上是奇函数.
(2)∵f(m)+f(n)=f(class="stub"m+n
1+mn
)

当-1<m<n<1时,class="stub"m-n
1-mn
<0
,由条件知f(class="stub"m-n
1-mn
)>0,
即f(m)-f(n)>0∴f(x)在(-1,1)上是减函数.
(3)证明:∵f(class="stub"1
n2+3n+1
)
=f(class="stub"1
(n+1)(n+2)-1
)=f[
class="stub"1
n+1
+(class="stub"-1
n+2
)
1+(class="stub"1
n+1
)(class="stub"-1
n+2
]
=f(class="stub"1
n+1
)+f(class="stub"-1
n+2
)=f(class="stub"1
n+1
)-f(class="stub"1
n+2

f(class="stub"1
5
)+f(class="stub"1
11
)+…+f(class="stub"1
n2+3n+1
)

=f(class="stub"1
2
)-f(class="stub"1
3
)+f(class="stub"1
3
)-f(class="stub"1
4
)+…+f(class="stub"1
n+1
)-f(class="stub"1
n+2

=f(class="stub"1
2
)-f(class="stub"1
n+2

∵0<class="stub"1
n+2
<1
∴f(class="stub"1
n+2
)<0
∴f(class="stub"1
2
)-f(class="stub"1
n+2
)>f(class="stub"1
2

f(class="stub"1
5
)+f(class="stub"1
11
)+…+f(class="stub"1
n2+3n+1
)>f(class="stub"1
2
)

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