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函数f（x）的定义域为D={x|x≠0，x∈R}，且满足对于任意的x1，x2∈D，有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）．（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；（3）当f

题目简介

函数f（x）的定义域为D={x|x≠0，x∈R}，且满足对于任意的x1，x2∈D，有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）．（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；（3）当f

题目详情

函数f（x）的定义域为D={x|x≠0，x∈R}，且满足对于任意的x1，x2∈D，有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；
（3）当f（4）=1，f（x）在（0，+∞）上是增函数时，若f（x-1）＜2，求x的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）取x2=1，得f（x1×1）=f（x1）+f（1），即f（x1）=f（x1）+f（1），解之得f（1）=0；
（2）令x1=x2=-1，得f[-1×（-1）]=f（-1）+f（-1）．解之得f（-1）=0
再令x1=-1，x2=x，得f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）在D上为偶函数…（8分）
（3）由f（4×4）=f（4）+f（4）且f（4）=1，得f（16）=2…（9分）
∵f（x）在D上为偶函数，
∴不等式f（x-1）＜2等价于f（|x-1|）＜2…（10分）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，由函数的定义域知|x-1|＞0
∴0＜|x-1|＜16，解之得-15＜x＜17且x≠1，
即原不等式的解集为（-15，1]∪[1，17）…（12分）

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